kubna jednadžba

ilustracija
KUBNA JEDNADŽBA, geometrijsko određivanje rješenja kubne jednadžbe s pomoću krivulje prikazane u koordinatnome sustavu: 1. jedno trostruko realno rješenje; 2. jedno realno rješenje; 3. jedno jednostruko i jedno dvostruko realno rješenje; 4. tri međusobno različita realna rješenja

kubna jednadžba, algebarska jednadžba kojoj je opći oblik: ax³ + bx² + cx + d = 0 (a ≠ 0), gdje je x nepoznata varijabla, a konstante a, b, c i d nazivaju se: a kubni koeficijent (a ≠ 0, za a = 0 jednadžba postaje kvadratna), b kvadratni koeficijent, c linearni koeficijent i d slobodni član. Diskriminanta kubne jednadžbe jest:

D = – 4b³d + b²c² – 4ac³ + 18abcd – 27a²d².

Dijeljenjem koeficijentom a i supstitucijom x = y – b/3a svodi se kubna jednadžba na tzv. normalni oblik: y³ + py + q = 0, koji se rješava s pomoću formule što ju je uveo Geronimo Cardano (Cardanova formula):

kubna jednadžba 2.jpg, gdje su p = c/a – b²/3a², q = d/a – bc/3a² + 2b³/27a³ .

Nesvodivi slučaj (casus irreducibilis), slučaj kada je kubna jednadžba 3.jpg, nije bilo moguće riješiti sve dok Abraham de Moivre nije uveo trigonometrijski oblik predočivanja kompleksnih brojeva: zn = rn (cos  + i sin ), a time i mogućnost korjenovanja, jer se tada pod znakom trećega korijena ne pojavljuje kompleksan broj kubna jednadžba 4.jpg. Zanimljivo je da su baš u tom slučaju sva tri korijena kubne jednadžbe realna.

Geometrijski, rješavanje kubne jednadžbe odgovara traženju presjeka krivulje s osi x:

a) ako krivulja jednom siječe os x, kubna jednadžba ima jedno trostruko realno rješenje (diskriminanta je jednaka nuli, D = 0);

b) ako krivulja jednom siječe os x, kubna jednadžba ima jedno realno rješenje (diskriminanta je veća od nule, D > 0);

c) ako krivulja dvaput siječe os x, kubna jednadžba tri realna rješenja, jedno dvostruko (diskriminanta je jednaka nuli, D = 0);

d) ako krivulja triput siječe os x, kubna jednadžba ima tri međusobno različita realna rješenja (diskriminanta je manja od nule, D < 0).

kubna jednadžba. Hrvatska enciklopedija, mrežno izdanje. Leksikografski zavod Miroslav Krleža, 2018. Pristupljeno 23.9.2019. <http://www.enciklopedija.hr/Natuknica.aspx?ID=34393>.