sferna trigonometrija

sferna trigonometrija, grana geometrije koja istražuje odnose i veze stranica i kutova sfernoga trokuta, izražavajući ih u obliku sferno-trigonometrijskih formula. Primjenjuje se za određivanje položaja i udaljenosti objekata u astronomiji i geodeziji.

Povijesni razvoj

Sferna trigonometrija nastala je u okviru astronomije, mnogo prije nego »ravninska« trigonometrija. Njezin se začetak obično veže uz Hiparha iz Nikeje, koji je za potrebe svojih astronomskih istraživanja izračunavao duljine tetiva lukova i grafički rješavao sferne trokute. Radovi Menelaja iz Aleksandrije najstariji su sačuvani tekstovi o sfernoj trigonometriji. Posebno je značajan prinos Klaudija Ptolemeja, koji je u Almagestu izložio cjelokupno tadašnje znanje o sfernoj trigonometriji. Za daljnji razvoj sferne trigonometrije značajni su indijski i arapski astronomi i matematičari. Kao samostalnu disciplinu izgradio ju je u svojim radovima Nasiruddin at-Tusi (XIII. st.). Autor prvoga tiskanoga djela o sfernoj trigonometriji bio je Regiomontanus (XV. st.). Sustav sfernotrigonometrijskih formula prikladan za praksu potječe od Johna Napiera. Za izgradnju sferne trigonometrije zaslužni su i Leonhard Euler, Ruđer Josip Bošković, Carl Friedrich Gauss i dr.

Važnije relacije u sfernoj trigonometriji

(1) Poučak o kosinusima

a) za stranice: cos a = cos b cos c + sin b sin c cos α

b) za kutove: cos α = –cos β cos γ + sin β sin γ cos a

(2) Poučak o sinusima

sin : sin : sin c = sin α : sin β : sin γ

(3) Formula za 5 elemenata

a) sin cos β = cos sin c – sin cos c cos α

b) sin α cos = cos β sin γ + sin β cos γ cos a

(4) Formule za 4 uzastopna elementa

cot a sin = cos cos γ + sin γ cot α,

gdje su a, b i c stranice, a α, β i γ njima nasuprotni kutovi sfernoga trokuta. Iz prethodnih formula izvodi se i niz daljnjih formula, kao npr. formule za polustranice, odn. polukutove, Neperove analogije itd. U pravokutnom sfernom trokutu s γ = 90° prethodne se formule znatno pojednostavnjuju i glase: sin a = sin c sin α; tan = tan c cos α; tan a = sin b tan α; cos c = cos a cos b; cos c = cot α cot β; cos α = cos a sin β. Mnemotehnički se te formule mogu dobiti Neperovim pravilom: Kosinus svakoga elementa u cikličkom slijedu jednak je produktu kotangensa njemu susjednih elemenata, odnosno sinusa s njim nesusjednih. Npr. cos c = cot α cot β = cos (90° – a) cos (90° – b). Formule sferne trigonometrije omogućuju da se iz triju poznatih elemenata sfernoga trokuta (odn. dvaju u slučaju pravokutnoga) nađu i svi ostali; zadaća je poznata kao rješavanje sfernoga trokuta.

sferna trigonometrija. Hrvatska enciklopedija, mrežno izdanje. Leksikografski zavod Miroslav Krleža, 2018. Pristupljeno 22.3.2019. <http://www.enciklopedija.hr/Natuknica.aspx?ID=55625>.