topološki prostor

topološki prostor, predmet proučavanja topologije. Topološki je prostor skup T u kojem je zadana neka množina podskupova U sa sljedećim svojstvima: a) unija od bilo koliko skupova iz U opet je element od U; b) presjek od konačno mnogo skupova iz U opet je element od U; c) cijeli skup T i prazan skup 0 elementi su od U. Elementi od U nazivaju se otvorenim skupovima topološkoga prostora T. Svaki metrički prostor postaje topološki ako se otvoreni skup definira kao skup koji zajedno sa svakom svojom točkom sadrži i neku kuglu oko te točke (tj. skup svih točaka kojima je udaljenost do točke t manja od zadanoga broja r > 0). Podskup S topološkoga prostora naziva se zatvorenim ako mu je komplement T\S otvoreni skup. Elementi topološkoga prostora T nazivaju se točke. Okolina točke t svaki je podskup S od T koji sadrži neki otvoreni skup U u kojem je točka t. Posebno, svaki je otvoreni skup okolina svake svoje točke. Skup svih točaka kojima je S okolina označava se IntS i naziva se nutrina ili interior skupa S. To je najveći otvoreni skup sadržan u S. Najmanji zatvoreni skup koji sadrži S naziva se zatvorenjem skupa S i označava 62018 ili ClS (od engl. closure = zatvorenje). Razlika S\IntS zatvorenja i nutrine zove se rub skupa S i označava sa ∂S. S se naziva povezanim ako ne postoje disjunktni otvoreni skupovi U i V takvi da su presjeci S ∩ V i S ∩ N neprazni i takvi da je S sadržan u uniji U ∪ V. Ako su T1 i T2 topološki prostori i f: T1 → T2 funkcija, f se naziva neprekidnom u točki t prostora T1 ako je f–1 (V) okolina točke t za svaku okolinu V točke (t) prostora T2; pritom je f–1 (V) oznaka za skup svih točaka s prostora T1 takvih da se točka (s) nalazi u skupu V. Funkcija f je neprekidna (na T1) ako je neprekidna u svakoj točki od T1. Važno je svojstvo neprekidne funkcije f da je skup (s) povezan ako je S povezan skup u prostoru T1. Za niz (tn) točaka topološkoga prostora T kaže se da konvergira ili teži k točki t0, i piše se: topoloski prostor 1.jpg, ako svaka okolina V točke t0 sadrži sve točke tn zadanoga niza osim njih konačno mnogo. Točka t0 naziva se limes ili granica niza (tn). Niz koji ima limes zove se konvergentan. Ako je (tn) konvergentan niz u topološkom prostoru T1 i topoloski prostor 1.jpg i ako je fT1 → T2 funkcija neprekidna u točki t0, onda je niz ((tn)) konvergentan u topološkom prostoru T2 i topoloski prostor 2.jpg.

topološki prostor. Hrvatska enciklopedija, mrežno izdanje. Leksikografski zavod Miroslav Krleža, 2018. Pristupljeno 14.12.2019. <http://www.enciklopedija.hr/Natuknica.aspx?ID=61810>.