vektorski prostor

vektorski prostor (linearni prostor), jedna od fundamentalnih struktura suvremene matematike, nastala poopćenjem i apstrakcijom prostora orijentiranih dužina. Vektorski prostor nad poljem P = {α, β, …}, elementi kojega se nazivaju skalari, jest skup V = {a, b, …}, elementi kojega se nazivaju vektori, a na kojem su definirane dvije operacije:

1) zbrajanje vektora: a b = c ∈ V, s obzirom na koje je V Abelova grupa (→ grupa);

2) produkt vektora a sa skalarom λ koji udovoljava ovim zahtjevima:

a) λ (μa) = (λμa;

b) (λ μa = λa μa;

c) λ (a b) = λa + λb;

d) 1a = a.

Iz ovih aksioma slijedi egzistencija jednoznačno određenoga nulvektora 0 sa svojstvom a 0 = a, i za svaki vektor a njemu suprotnoga vektora –a, sa svojstvom a + (–a) = 0.

Konačna suma oblika

vektorski prostor 1.jpg,

pri čem su λl, λ2, λ3, …, λk skalari, a al, a2, a3, …, ak vektori, naziva se linearna kombinacija vektora al, …, ak. Kaže se da su ti vektori linearno neovisni, ako njihova linearna kombinacija može iščezavati jedino tako da su svi λi = 0, odn. da su linearno ovisni, ako postoji bar jedna takva linearna kombinacija koja iščezava, a da je pritom bar jedan od λi ≠ 0. Skup vektora naziva se linearno neovisnim ako je svaki njegov konačan podskup linearno neovisan. Linearno neovisan skup B u vektorskom prostoru V naziva se njegovom bazom, ako oni razapinju cijeli prostor, tj. ako se svaki vektor a ∈ V može predočiti kao linearna kombinacija vektora baze, vektorski prostor 2.jpg. Skalari αi nazivaju se pritom koordinatama vektora a u toj bazi.

Može se dokazati da svaki vektorski prostor ima bazu i da, ako postoji baza s konačno mnogo elemenata, svaka druga baza ima isto toliko elemenata. Za takav prostor kaže se da je konačnodimenzionalan, a broj elemenata baze da je njegova dimenzija. Primjeri su vektorskoga prostora skup radijvektora (tj. orijentiranih dužina s fiksnim početkom) s obzirom na vektorske operacije, skup svih polinoma f(x) stupnja ≤ n s obzirom na operacije zbrajanja polinoma (f + g) (x) = f(x) + g(x) i njihova množenja skalarom (λ · f) (x) = λ · f(x).

Linearni operator je funkcija A kojoj je područje definicije vektorski prostor V nad poljem P, a vrijednosti poprima u nekom vektorskom prostoru W nad istim poljem P i pritom ima svojstvo linearnosti: A(αa + βb) = αA(a) + βA(b) za bilo koje skalare α, β i vektore a, b prostora V. Ako je A bijekcija (→ funkcija) sa V na W, tada je i inverzna funkcija A–1 linearni operator. U tom slučaju A se naziva izomorfizam vektorskih prostora V i W, a prostori V i W izomorfnima. Konačnodimenzionalni prostori V i W izomorfni su onda i samo onda kada su im jednake dimenzije. Iz svojstva linearnosti slijedi da je linearni operator A potpuno određen djelovanjem na neku bazu e1, …, en vektorskoga prostora V. Ako je f1, …, fm baza vektorskoga prostora W, onda se svaki od vektora Ae1, …, Aenmože napisati kao linearna kombinacija vektora f1, …, fm:

vektorski prostor 3.jpg.

Tako je operatoru A pridružena matrica s n redaka i m stupaca:

vektorski prostor 4.jpg

koja se naziva matrica operatora A u paru baza (e), (f). Ovo pridruživanje uspostavlja vrlo usku vezu između teorije matrica i teorije linearnih operatora.

Vektorski prostor je baza na kojoj se zasniva niz pojmova i teorija suvremene matematike (→ matrica; tenzor; itd.) i koji se primjenjuje u matematičkoj analizi, funkcionalnoj analizi, diferencijalnoj geometriji itd., te u fizici.

vektorski prostor. Hrvatska enciklopedija, mrežno izdanje. Leksikografski zavod Miroslav Krleža, 2018. Pristupljeno 23.5.2019. <http://www.enciklopedija.hr/Natuknica.aspx?ID=64093>.