diferencijalni račun

ilustracija
DIFERENCIJALNI RAČUN

diferencijalni račun, područje matematičke analize koje ispituje funkcije koristeći se njihovim derivacijama, proučava brzine kojima se mijenjaju određene veličine (funkcije) s obzirom na promjene drugih veličina (varijabli) o kojima su ovisne. Primjenjuje se za određivanje minimalnih i maksimalnih vrijednosti funkcija, odnosno u optimiranju procesa u tehničkim ili ekonomskim sustavima.

Povijesni razvoj

Diferencijalni račun istodobno su otkrili Gottfried Wilhelm Leibniz i Isaac Newton (XVII. st.), prvi u geometriji, polazeći od problema tangente, a drugi u mehanici, rješavajući problem brzine, a razvoju su pridonijeli Michel Rolle, Bernard Bolzano, Augustin-Louis Cauchy i dr.

Derivacija

Do pojma derivacije najjednostavnije se dolazi određivanjem smjera tangente u nekoj točki krivulje koja je u koordinatnom sustavu Oxy određena funkcijom y = f (x). U točki A te krivulje povučena je sekanta AB. Zakreće li se sekanta AB oko sjecišta A dok sjecište B ne padne u točku A, prijeći će sekanta u tangentu s diralištem u točki A. Točka A ima koordinate (x, y), a točka B koordinate (x + Δ x, y + Δy). Ti prirasti +Δ x i Δy bit će to manji što točka B bude bliža točki A. Smjer sekante AB određen je kutom što ga ona zatvara s osi x, dakle koeficijent smjera je tan β = Δy/Δ x. Kad se točka B giba po krivulji prema točki A, tada kut β teži prema kutu α, a prirasti Δ x i Δy prema nuli, tj. β → α, Δ x → 0, Δy → 0. Zato derivacija f′ (x) funkcije (x) određuje koeficijent smjera tangente krivulje y = (x), u njenoj točki, apscise x. Ako funkcija f ima derivaciju u točki x (odn. ako krivulja y = (x) ima u točki apscise x tangentu), kaže se da je f diferencijabilna ili derivabilna u toj točki.

Diferencijal funkcije

Ako funkcija y = (x) ima u točki x određenu derivaciju f′ (x), onda je prema definiciji Δ x → 0, lim Δy/Δ x = f′ (x). Prije prijelaza na granicu je Δy/Δ x = f′ (xε, gdje ε teži nuli istodobno kada i Δ x. Prema tome je Δy = f′ (x) Δ x + ε Δx. Prvi član zbroja na desnoj strani naziva se diferencijal funkcije y = f′ (x), a bilježi se simbolički dy i piše dy = f′ (x) Δ x ili dy = f′ (x) dx. To omogućuje da se derivacija prikaže kao količnik diferencijala, tj. f′ (x) = dy/dx, zbog čega se često derivacija naziva diferencijalni kvocijent. Diferencijalni račun daje pravila s pomoću kojih se može izračunati derivacija funkcije y = f′ (x), a proces tog izračunavanja naziva se deriviranje. Budući da je derivacija funkcije opet funkcija, ona se eventualno može ponovno derivirati, što dovodi do viših derivacija. Kod funkcija s više varijabli mogu se formirati derivacije s obzirom na svaku pojedinu nezavisnu varijablu, koje se nazivaju parcijalne derivacije.

diferencijalni račun. Hrvatska enciklopedija, mrežno izdanje. Leksikografski zavod Miroslav Krleža, 2018. Pristupljeno 21.11.2019. <http://www.enciklopedija.hr/Natuknica.aspx?ID=15037>.