analitička funkcija

analitička funkcija, općenito svaka funkcija kojoj je područje definicije otvoren skup i koja u svakoj točki ima derivaciju bilo kojega reda i može se prikazati redom potencija (Taylorovim redom, Brook Taylor). Kod funkcija realnih varijabli govori se o derivabilnosti funkcije, o prekidnosti ili neprekidnosti funkcije itd.

Analitička funkcija kompleksne varijable (holomorfna ili regularna funkcija) funkcija je kojoj je područje definicije otvoren skup u kompleksnoj ravnini i koja u svakoj točki ima derivaciju. Osnove teorije analitičkih funkcija kompleksne varijable postavio je Augustin-Louis Cauchy. Pokazalo se da je derivabilnost za funkcije kompleksne varijable vrlo velik zahtjev. Tako npr. analitička funkcija kompleksne varijable z ima i više derivacije svih redova pa se u okolini svake točke z0 može prikazati konvergentnim redom potencija, tj.

f (z) = a0 + a1 · (z – z0) + a2 · (z – z0)² + a3 · (z – z0)³ + ….

U obliku z = x + iy, f (z) = u (xy) + iv (xy), gdje su x, y, u i v realni, funkcija je analitička ako su u i v diferencijabilni i zadovoljavaju Cauchy-Riemannove uvjete: ∂u/∂x = ∂v/∂y, u/∂y = – ∂v/∂x. Točka z0 u kojoj funkcija nije derivabilna naziva se singularna točka. Ako je oko te točke funkcija analitička, z0 se naziva izolirani singularitet. Ovisno o ponašanju |f (z)|, kada z teži prema z0, razlikuju se tri vrste izoliranih singulariteta: (a) z0 je uklonjivi singularitet ako |f (z)| teži nekomu određenomu (konačnomu) broju pa se u tom slučaju promjenom vrijednosti može postići da je funkcija analitička i u z0; (b) z0 je pol ako |f (z)| teži u beskonačno pa je tada z0 uklonjivi singularitet za funkciju f (z) · (z – z0)n za neki prirodni broj n; (c) ako nije ni uklonjivi singularitet ni pol, z0 naziva se bitni singularitet. Derivacije elementarnih funkcija kompleksne varijable računaju se po istim pravilima kao i derivacije istih funkcija realnih varijabli.

Važan je element u računanju apsolutna veličina (modul) funkcije

|f (z)| =  [u (xy)]² + [v (xy)]²  = φ (xy).

Ploha |f (z)| = φ (xy), gdje je |f (z)| aplikata u točki z = x + iy naziva se reljefom funkcije. Ako postoji takav pozitivni broj N da je |f (z)| < N za svaku točku z u nekom području, onda je funkcija ograđena u tom području (u protivnome je neograđena). Za modul funkcije postoje dva osnovna teorema: (1) Ako je f (z) analitička funkcija u zatvorenome području, onda njezin modul postiže maksimum na rubu toga područja; (2) Ako je f (z) analitička u čitavoj ravnini i ograđena, onda je ta funkcija konstantna: f (z) = const. (Liouvilleov teorem). Teorija analitičkih funkcija kompleksne varijable vrlo je važna u fizici, osobito u hidrodinamici i teoriji elastičnosti.

analitička funkcija. Hrvatska enciklopedija, mrežno izdanje. Leksikografski zavod Miroslav Krleža, 2018. Pristupljeno 29.1.2020. <http://www.enciklopedija.hr/Natuknica.aspx?ID=2455>.