integral

integral (prema kasnolat. integralis: sastavni, cjelovit, od klas. lat. integer: netaknut, čitav) (znak ∫), funkcija ili veličina koja je ili rješenje diferencijalne jednadžbe ili limes zbroja vrijednosti neke funkcije. Znak integrala potječe od Gottfrieda Wilhelma Leibniza i predstavlja izduženo slovo S (početno slovo od suma, zbroj). U integralnom računu naziv integral uključuje dva bitno različita pojma, određeni integral (limes zbroja infinitezimalno malih dijelova ploštine koji daje ukupnu ploštinu ispod krivulje zadane funkcije, u rasponu između donje i gornje granice) i neodređeni integral (integral kojemu rješenje nije jednoznačno, nego mu se može pribrojiti konstanta bilo koje vrijednosti).

Osnovna pravila integriranja

Zbrajanje i oduzimanje integrala: ∫(f(x) ± g(x))dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx.

Množenje integrala konstantom: ∫cf(x)dx = c∫f(x)dx.

Parcijalna integracija (integracija produkta dviju funkcija):

∫f'(x)g(x)dx = f(x)g(x) − ∫ f(x)g'(x)dx.

Određeni integrali

Jednostruki integral je određeni integral jedne varijable po jednodimenzijskome području integriranja. Newton-Leibnizova formula izražava tvrdnju da je jednostruki integral funkcije na zatvorenome intervalu jednak razlici vrijednosti njezine primitivne funkcije u krajnjim točkama intervala:

,

gdje je f' neprekidna funkcija definirana i integrabilna na zatvorenom intervalu [a, b] skupa realnih brojeva i f neprekidna funkcija koja je primitivna funkcija funkcije f' na otvorenome intervalu x ∈ (a, b).

Dvostruki integral je određeni integral dviju varijabla po dvodimenzijskome području integriranja. Određuje se uzastopnim računanjem dva jednostruka integrala s pomoću Newton-Leibnizove formule. Može se primijeniti za određivanje ploštine i volumena tijela omeđenoga zadanim plohama. Rezultat ne ovisi o redoslijedu integriranja. Primjerice, ako je područje integracije D zadano dvama neprekidnim funkcijama D = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, g (x) ≤ y ≤ h (x)}, tada je dvostruki integral:

,

Trostruki integral je određeni integral triju varijabla po trodimenzijskome području integriranja a može se primijeniti za određivanje volumena tijela omeđenoga zadanim plohama. Rezultat ne ovisi o redoslijedu integriranja. Ako je područje integracije D zadano trima neprekidnim funkcijama D = {(x, y, z) : a ≤ x ≤ b, h₁ (x) ≤ y ≤ h₂ (x), g₁ (x, y) ≤ z ≤ g₂ (x, y)}, tada je trostruki integral:

,

gdje je dV = dxdydz element volumena.

Tablica osnovnih neodređenih integrala

∫dx = x + C

∫xⁿ dx = (xⁿ⁺¹ / (n + 1)) + C (za n ≠ –1)

∫dx / x = ln |x| + C

∫e^x dx = e^x + C

∫a^x dx = (a^x / ln a) + C (za a > 0, a ≠ 1)

∫cos x dx = sin x + C

∫sin x dx = – cos x + C

∫dx / cos²x = tan x + C

∫dx / sin²x = – cot x + C

∫cosh x dx = sinh x + C

∫sinh x dx = cosh x + C

∫dx / cosh²x = tanh x + C

∫dx / sinh²x = – coth x + C

∫dx / √ a² – x²  = arcsin (x / a) + C (za a > 0)

∫dx / (a² + x²) = (1 / a) arctan (x / a) + C (za a > 0)

∫dx / √ a² + x²  = ln (x + √ a² + x² ) + C (za a > 0)