binarni brojevni sustav

binarni ili dijadski brojevni sustav (lat. bini: po dva; grč. δυάς: dvoje, dvojina), aditivno-multiplikativni brojevni sustav s osnovicom dva u kojem se svaki broj može predočiti uporabom dviju znamenaka. Prvi ga spominje španjolski matematičar Juan Caramuel (1606–82) u djelu Dvoglava znanost (Mathesis biceps, 1670). Podatci u računalima (tekst, glazba, slike, filmovi…) zapisuju se u obliku brojeva u binarnome brojevnom sustavu.

Usporedba zapisa nenegativnih brojeva u dekadskome i binarnome brojevnom sustavu

dekadski zapis	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
binarni zapis	0	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010

Pretvorba dekadskoga zapisa prirodnoga broja u binarni

Dekadski zapis broja pretvara se u binarni tako što se broj cjelobrojno podijeli brojem dva i zapiše se ostatak. Količnik se nastavlja dijeliti brojem dva dok ne bude jednak nuli. Binarni zapis broja čine ostatci dijeljenja, s kraja prema početku, npr.:

23 : 2 = 11 (ostatak 1)

11 : 2 = 5 (1)

5 : 2 = 2 (1)

2 : 2 = 1 (0)

1 : 2 = 0 (1), dakle 10111.

Pretvorba binarnoga zapisa prirodnoga broja u dekadski

Binarni zapis broja pretvara se u dekadski tako što se svakoj znamenki binarnoga zapisa pridruži potencija broja dva: prvoj znamenki gledano s desne strane pridruži se 2⁰, drugoj 2¹, trećoj 2² i tako redom, a na kraju se vrijednosti potencija zbroje. Primjerice, 10111 = 1 · 2⁰ + 1 · 2¹ + 1 · 2² + 0 · 2³ + 1 · 2⁴ = 1 + 2 + 4 + 0 + 16 = 23.

Cijeli brojevi u binarnome brojevnom sustavu

Računala za pohranu podataka rabe samo dva znaka, pa je za razlikovanje pozitivnih i negativnih brojeva razvijeno nekoliko konvencija.

Cijeli brojevi sa znamenkom kao predznakom izvode se tako da se pozitivni odnosno negativni predznak binarnoga broja prikaže s pomoću znamenke 0, odnosno 1, na krajnjem lijevom mjestu binarnoga niza. Ako je broj s predznakom prikazan kao binarni niz n znamenaka, vrijednost broja prikazuje n – 1 znamenka.

Dvojni komplementarni zapis cijelih brojeva izvodi se tako da se za prikaz broja unaprijed odredi broj znamenaka (manji pozitivni brojevi započinju s nulama, npr. u osmeroznamenkastome sustavu jedan je 00000001, dva 00000010), a negativni brojevi dobiju se od pozitivnih kad se pozitivnim ekvivalentima stave jedinice umjesto nula i nule umjesto jedinica (komplementarni oblik, npr. u osmeroznamenkastome sustavu broj minus jedan je 11111110, minus dva je 11111101) i tako dobivenim komplementima doda jedan (dvojni komplementarni oblik, npr. u osmeroznamenkastome sustavu minus jedan je 11111111, minus dva je 11111110). Taj oblik zapisa cijelih brojeva primjenjuje se najčešće jer omogućuje najjednostavnije računalno računanje: oduzimanje brojeva postaje zbrajanje umanjenika i broja suprotnog umanjitelju.

Usporedba prikazâ cijelih brojeva u binarnome brojevnom sustavu

dekadski prikaz	– 5	– 4	– 3	– 2	– 1	0	1	2	3	4	5
binarni prikaz nenegativnih brojeva						0	1	10	11	100	101
binarni prikaz sa znamenkom kao predznakom	0101	0100	011	010	01	0	11	110	111	1100	1101
binarni prikaz u komplementarnom obliku (4 znamenke)	1010	1011	1100	1101	1110	0000	0001	0010	0011	0100	0101
binarni prikaz u dvojnome komplementarnom obliku (4 znamenke)	1011	1100	1101	1110	1111	0000	0001	0010	0011	0100	0101