struka(e): matematika

binomni poučak, pravilo za izračunavanje potencije binoma, tj. izraza (a + b)n, u kojem je n prirodni broj:

\[(a+b)^n=a^n+\tbinom n 1a^{n-1}b+\tbinom n 2a^{n-2}b^2+\ldots+\tbinom n {n-1}ab^{n-1}+b^n,\]

pritom je \(\tbinom n k\) (čita se: n povrh k) binomni koeficijent tj. simbol za broj

\[\left(\frac{n(n-1)(n-2)\ldots(n-k+1)}{1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot k}\right).\]

Isaac Newton je 1676. pokazao da se binomni poučak poopćuje i na slučaj kad je n bilo koji racionalan broj. U općem slučaju dobiva se beskonačan red potencija.

Npr. za n = 1/2 i |x| ≤ 1 vrijedi

\[(1\pm x)^{\frac12}=\sqrt{1\pm x}=1+\tbinom {\frac12} 1(\pm x)+\tbinom {\frac12} 2(\pm x)^2+\tbinom {\frac12} 3(\pm x)^3+\ldots=\]

\[=1\pm \frac12x-\frac1{2\cdot4}x^2\pm \frac{1\cdot3}{2\cdot4\cdot6}x^3-\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6\cdot8}x^4\pm\ldots\]

Pascalov trokut je shema u čijem se n-tom retku nalaze binomni koeficijenti raspisa potencije (a + b)n.

Citiranje:

binomni poučak. Hrvatska enciklopedija, mrežno izdanje. Leksikografski zavod Miroslav Krleža, 2013. – 2024. Pristupljeno 21.5.2024. <https://www.enciklopedija.hr/clanak/binomni-poucak>.