funkcija kompleksne varijable, funkcija koja svakomu kompleksnom broju pridružuje drugi kompleksni broj; funkcija f(z) kojoj je argument kompleksna varijabla z = x + iy. Funkcija w = f (z) = u + iv, gdje su u i v realni, definirana je ako su poznate dvije funkcije dviju realnih varijabli: u = u (x, y), v = v (x, y). Funkcija kompleksne varijable preslikava ravninu z u ravninu w (ako je funkcija w = f (z) jednoznačna), a u Riemannovu plohu, tj. skup nekoliko ploha postavljenih jedna na drugu, ako je višeznačna (npr. n√ z , arcsin z itd.). Pojmovi kao što su limes, neprekidnost, derivacija itd., definiraju se formalno jednako kao za funkcije realne varijable, pojavljuju se problemi pri ustanovljivanju derivabilnosti.
Funkcija w = ƒ (z) analitička je u točki z0 ako je derivabilna u svim točkama nekoga kruga sa središtem u točki z0 (ma kako malog polumjera). Funkcija je analitička u suvislom području ako je analitička u svim točkama zadanoga područja.
Analitička funkcija u + iv = f (x + iy) zadovoljava Cauchy-Riemannove uvjete:
∂u/∂x = ∂v/∂y ; ∂u/∂y = − ∂v/∂x.
Npr. funkcija ƒ (z) = z², kod koje iz z = x + iy slijedi f(z) = x² – y² + i(2xy) dakle: u(x, y) = x² – y², v(x, y)= 2xy, zadovoljava Cauchy-Riemannove uvjete: ∂u/∂x = 2x, ∂v/∂y = 2x, ∂u/∂y = −2y i −∂v/∂x = −2y što znači da je posvuda analitička.
Funkcija f (z) = u + iv za u = 2x + y i v = x + 2y ne zadovoljava Cauchy-Riemannove uvjete: ∂u/∂x = 2, ∂v/∂y = 2, ∂u/∂y = 1 i −∂v/∂x = −1 (1 ≠ −1) i nije analitička.
Ako se funkcija ƒ (z) dobiva izvršenjem određenih algebarskih operacija na kompleksnoj veličini z, onda se ƒ (z) naziva algebarskom funkcijom kompleksne varijable. Takve su npr. funkcije ƒ (z) = az + b, ƒ (z) = 1/z , ƒ (z) = z², ƒ (z) = z + 1/z − 1 , ƒ (z) = √ (z² − a²) itd.
