struka(e): matematika

Kartezijev produkt (Kartezijev umnožak) (prema Cartesius, latiniziranom imenu Renéa Descartesa), skup svih uređenih n-torki elemenata skupova kojima je prvi element iz prvoga skupa, drugi element iz drugoga skupa, treći element iz trećega skupa itd. Kartezijev produkt skupova A i B skup je koji se obično označava s A × B, a sastoji se od svih uređenih parova (a, b), pri čem je a element skupa A, a b element skupa B, tj. A × B = {(ab) : a ∈ A i b ∈ B}. Pritom je uređeni par dvočlani skup, u kojem je zadano koji se od dvaju elemenata smatra prvim, a koji drugim. Na primjer, ako je skup A = {a1, a2} a skup B = {b1, b2}, tada je Kartezijev produkt:

A × B = {a1, a2} × {b1, b2} = {(a1, b1), (a1, b2), (a2, b1), (a2, b2)}, a

B × A = {b1, b2} × {a1, a2} = {(b1, a1), (b1, a2), (b2, a1), (b2, a2)}.

Ako su A i B konačni skupovi i ako A sadržava n elemenata, a B m elemenata, broj elemenata u skupu A × B jednak je produktu n · m. Slično se definira Kartezijev produkt više skupova. Na primjer, ako su A, B i C tri skupa, njihov je Kartezijev produkt skup A × B × C svih uređenih trojki (a, b, c), gdje je a element iz skupa A, b element iz skupa B, a c element iz skupa C. Kartezijev produkt n skupova jest:

A1 × A2 × … × An = {(a1, a2, …, an) : ai ∈ Ai ∀ i ∈ {1, 2, …, n}}.

Kartezijev produkt primjenjuje se pri opisivanju dvodimenzijskoga Kartezijeva koordinatnoga sustava, gdje je Kartezijevu produktu skupova realnih brojeva R × R pridružen skup svih točaka u ravnini, tj. svakoj točki ravnine dodijeljen je uređeni par realnih brojeva, koji se nazivaju njezinim koordinatama. Pri opisivanju trodimenzijskoga Kartezijeva koordinatnoga sustava Kartezijevu produktu skupova realnih brojeva R × R × R pridružen je skup svih točaka u prostoru, tj. svakoj točki prostora dodijeljena je uređena trojka realnih brojeva, koordinata.

Citiranje:

Kartezijev produkt. Hrvatska enciklopedija, mrežno izdanje. Leksikografski zavod Miroslav Krleža, 2013. – 2025. Pristupljeno 18.2.2025. <https://www.enciklopedija.hr/clanak/kartezijev-produkt>.