struka(e): matematika

matematička indukcija, metoda izvođenja dokaza istinitosti matematičke tvrdnje utemeljena na načelu da je podskup skupa prirodnih brojeva koji sadržava broj 1 i ima svojstvo da čim sadržava broj n, onda sadržava i broj n + 1, jednak skupu prirodnih brojeva N.

Neka je A podskup skupa prirodnih brojeva N sa sljedeća dva svojstva: (1) A sadrži broj 1; (2) ako je n element skupa A, tada je i n + 1 element skupa A. Načelom matematičke indukcije tvrdi se da je tada A = N. To očito svojstvo skupa N jedan je od Peanovih aksioma.

Ako se dokaže da je neka tvrdnja istinita za broj 1 (baza indukcije) i da iz pretpostavke da ako vrijedi za n proizlazi da vrijedi i za n + 1, onda je ta tvrdnja istinita za sve prirodne brojeve.

Primjer: treba dokazati da za svaki prirodni broj k vrijedi jednakost:

1² + 2² + … + k² = (1/6) [k (k + 1) (2k + 1)].

Za k = 1 lijeva i desna strana jednake su jedan pa jednakost vrijedi. Ako se pretpostavi da jednakost vrijedi za k = n, tada za k = n + 1 proizlazi: 1² + 2² + … + n² + (n + 1)² = (1/6) (n (n + l) (2n + l)) + (n + 1)² =

= (n + 1) [(1/6) (n (2n + 1)) + n + 1] = (1/6) (n + 1) (n + 2) (2n + 3).

To je upravo tražena jednakost za k = n + 1. Time je tvrdnja dokazana za sve prirodne brojeve k.

Citiranje:

matematička indukcija. Hrvatska enciklopedija, mrežno izdanje. Leksikografski zavod Miroslav Krleža, 2013. – 2024. Pristupljeno 24.6.2024. <https://www.enciklopedija.hr/clanak/matematicka-indukcija>.