simetrične funkcije

simetrične funkcije, funkcije f(x1, …, xn) koje ne mijenjaju svoje značenje ni pri kojoj permutaciji varijabli xi, tj. za koje f(xi1, …, xin) = f(x1, …, xn), gdje je (i1, …, in) bilo koja permutacija indeksa (1, …, n). Posebno značajne su simetrične funkcije simetrični polinomi, tj. → polinomi s gore navedenim svojstvom kao npr.

f(x1, x2) = x1³ + 2x1²x2 + 2x1x2² + x2³ – x1x2 + x1 + x2.

U teoriji simetričnih polinoma osnovnu ulogu igraju tzv. elementarni simetrični polinomi. Elementarni simetrični polinomi u tijesnoj su vezi s teorijom algebarskih jednadžbi tipa

xn + a1xn–1 + … + an–1x + an = 0.

Ako su x1, x2, …, xn korijeni te jednadžbe, vrijedi ak = (–1)k sk (x1, x2, …, xn).

Simetrični polinom sk (x1, x2, …, xn) suma je svih produkata od po k varijabli iz skupa x1, …, xn, npr. za k = 2:

s2 = x1x2 + x1x3 + …. + x1 xn + … + x2x3 + x2x4 + … + xn–1xn.

Za n 2 dobivaju se tzv. Vièteove formule p = –(x1 + x2), q = x1x2 za kvadratnu jednadžbu x² + px + q = 0.

Citiranje:
simetrične funkcije. Hrvatska enciklopedija, mrežno izdanje. Leksikografski zavod Miroslav Krleža, 2020. Pristupljeno 5. 7. 2020. <http://www.enciklopedija.hr/Natuknica.aspx?ID=56013>.