harmoničko titranje

harmoničko titranje, titranje tijela ili čestice pod djelovanjem harmoničke sile. Sustav koji titra (oscilira) pod utjecajem harmoničke sile harmonički je oscilator. Najjednostavniji mehanički harmonički oscilator je na jednom kraju učvršćena opruga s tijelom mase m na drugom kraju. Elastična sila opruge u najjednostavnijem oscilatoru jest F = –ks (t) = –k · s, gdje je k elastična konstanta opruge, a s (t) ≡ s elongacija ili pomak tijela iz ravnotežnog položaja.

Polazeći od Drugoga Newtonova zakona, iz jednadžbe gibanja za harmoničko titranje m · a = –k · s, dobiva se diferencijalna jednadžba titranja: s/dt² + k/m · s = 0. Njezino je opće rješenje harmonička funkcija s (t) = A sin (ωt φ0), u kojoj je A amplituda titranja, član (ωt φ0) faza harmoničkoga titranja s početnom fazom φ0, a ω = 2πf kružna frekvencija u kojoj je f frekvencija titranja. Funkcija s (t) je periodična, a njezin period T (vrijeme u kojem se period argumenta sinusa uvećava za 2π) period je harmoničkoga titranja, T = 2π/ω = 2π(m/k)1/2. Uvrštenjem općeg rješenja u diferencijalnu jednadžbu titranja, dobiva se izraz ω² = k/m ili ω = (k/m)1/2 koji označava svojstvenu frekvenciju titranja oscilatora. Iz periodične funkcije elongacije s (t) = A sin (ωt + φ0) dobiva se njezinim deriviranjem brzina tijela (čestice) koje titra, ν(t) = d/dt s (t) =  cos (ωt + φ0), a akceleracija tijela (čestice) kao druga derivacija elongacije, a (t) = /dt² s (t) = –² sin (ωt + φ0) = –ω² s (t), koja je razmjerna elongaciji, ali joj je suprotna. Kada čestica mase m oscilira oko neke točke u prostoru u potencijalu V(x) = (²x²)/2, kvantnomehanički harmonički oscilator zorno se rješava s pomoću Schrödingerove jednadžbe i Sommerfeldove metode polinoma.

 

harmoničko titranje. Hrvatska enciklopedija, mrežno izdanje. Leksikografski zavod Miroslav Krleža, 2018. Pristupljeno 11.12.2018. <http://www.enciklopedija.hr/Natuknica.aspx?ID=24438>.