koordinatni sustavi

ilustracija
KOORDINATNI SUSTAVI – a) na pravcu; b) u ravnini; c) u prostoru; d) kosokutni; e) polarni

koordinatni sustavi, sustavi koji omogućuju da se točke na krivulji, pravcu, plohi, u ravnini ili prostoru opišu s pomoću brojeva, tzv. koordinata.

Povijesni razvoj obilježja

Određivanje položaja s pomoću koordinata bilo je poznato već staroegipatskim graditeljima i babilonskim astronomima. Kartezijev koordinatni sustav uveo je René Descartes. Descartesovo otkriće omogućilo je da se mnogi geometrijski objekti sustavno proučavaju znatno jačim metodama analitičke geometrije, algebre i analize; tako se npr. krivulje proučavaju s pomoću jednadžbi koje zadovoljavaju koordinate njihovih točaka. Još je značajnije to što je u novije doba veza geometrije, algebre i analize omogućila da geometrijski zor, a time i mnogo plodnija intuicija, budu iskorišteni u rješavanju problema algebre i analize. Zato je Kartezijev koordinatni sustav temelj razvoja i uspjeha moderne linearne algebre (→ vektorski prostor), a zatim i mnogih njezinih nadgradnja (funkcionalne analize, diferencijalne geometrije, algebarske geometrije).

Vrste koordinatnih sustava

Kartezijev koordinatni sustav na pravcu određen je ishodištem O i jediničnom točkom E. Neka je T točka pravca i neka je x duljina dužine OT, ako je kao mjerna jedinica uzeta duljina dužine OE. Točki T pripada koordinata x, ako O nije između T i E, odnosno – x, ako se točka O nalazi između T i E. Točki O pripada koordinata 0. Na taj se način pravac identificira sa skupom R realnih brojeva. – U ravnini je pravokutni Kartezijev koordinatni sustav određen s dva međusobno okomita pravca x i y na kojima su zadani Kartezijevi koordinatni sustavi, ishodišta kojih su u točki presjecišta pravaca x i y. Točki T ravnine pridružuju se dvije koordinate, apscisa i ordinata. Apscisa točke T koordinata je okomite projekcije te točke na pravac x, a ordinata je koordinata okomite projekcije te točke na pravac y. Na taj način svakoj je točki pridružen uređen par realnih brojeva, pa se ravnina identificira s Kartezijevim produktom R × R skupa realnih brojeva sa samim sobom. Pravci x i y nazivaju se koordinatne osi, a pravci njima paralelni koordinatne linije.

Pravokutni Kartezijev koordinatni sustav u prostoru određen je trima međusobno okomitim pravcima x, y, z, koji se sijeku u ishodištu O, i s Kartezijevim koordinatnim sustavima na njima. Koordinate se tada zovu apscisa (na osi x), ordinata (na osi y) i aplikata (na osi z). Prostor se tako identificira s Kartezijevim produktom R × R × R.

Kosokutni Kartezijev koordinatni sustav određen je pravcima koji nisu međusobno okomiti, kojemu koordinatne osi nisu međusobno okomite, a umjesto okomitih projekcija pojavljuju se kose projekcije. Katkad ga je prikladno koristiti umjesto pravokutnoga, npr. u teoriji kristala.

Polarni sustav u ravnini određen je ishodištem O i zrakom p s početkom u ishodištu (polarna os) i jediničnom točkom E. Točki T ravnine pripadaju tada njezine polarne koordinate: jedna je radijalna koordinata r = OT (0 ≤ r ≤ ∞), a druga je amplituda φ, koja je mjerni broj kuta što ga zatvara zraka p sa zrakom kojoj je početak u ishodištu i koja prolazi kroz T. Prijelaz iz Kartezijevih koordinata u ravnini u polarne koordinate u ravnini računa se prema formulama: ρ = (x² + y²)1/2, φ = arctan(y/x), a prijelaz iz polarnih u Kartezijeve koordinate prema formulama x = ρ cosφ, y = ρ sinφ. Bipolarni koordinatni sustav u ravnini sadrži dva pola.

Cilindrični koordinatni sustav određen je ishodištem O, zrakom p s početkom u ishodištu i pravcem z koji je okomit na zraku p i prolazi kroz ishodište. Nekoj točki P pridružuju se koordinate (ρ, φ, z) gdje je ρ udaljenost okomita na pravac z od točke P do ishodišta, φ je kut koji projekcija vektora OP zatvara na ravninu u kojoj se nalazi zraka p sa zrakom p, a z udaljenost paralelna na os z od točke P do ishodišta.

Prijelaz iz Kartezijevih u cilindrične koordinate u prostoru računa se prema formulama: ρ = (x² + y²)1/2, φ = arctan(y/x), z = z, a prijelaz iz cilindričnih u Kartezijeve koordinate prema formulama x = ρ cosφ, y = ρ sinφ, z = z.

Sferni koordinatni sustav određen je ishodištem O i međusobno okomitim polupravcima p i z. Nekoj točki P pridružuju se koordinate (r, φ, θ) gdje je r koordinata jednaka udaljenosti od ishodišta do točke P, koordinata φ kut je od projekcije vektora OP na ravninu okomitu na poluos z i koordinatu θ, θ je kut koji vektor OP zatvara s poluosi z. Sve su točke prostora jednoznačno određene kad su vrijednosti sfernih koordinata ograničene: 0 < ρ < , –π < φ < π, 0 < θ < π.

Prijelaz iz Kartezijevih u sferne koordinate u prostoru računa se prema formulama: ρ = (x² + y² + z²)1/2, φ = arctan(y/x), θ = arctan((x² + y²)1/2)/z, a prijelaz iz sfernih u Kartezijeve koordinate prema formulama x = ρ sinθ cosφ, y = ρ sinθ sinφ, z = ρ cosθ.

U geodeziji i kartografiji položaj točke na Zemljinoj plohi često se određuje geografskim koordinatama. Za istu se namjenu katkad rabi i pravokutni koordinatni sustav na sferi, u kojem se za apscisu, umjesto pravca, najčešće uzima meridijan promatranoga područja. Za ishodište koordinatnoga sustava odabire se točka na meridijanu, obično u središtu promatranoga područja. Apscisa neke točke udaljenost je mjerena uzduž meridijana, od ishodišta do presjeka s velikom kružnicom (presjecište kugline plohe s ravninom koja prolazi njezinim središtem) koja prolazi danom točkom i okomita je na meridijan. Duljina luka te okomice ujedno je i ordinata točke.

U astronomiji se rabi sferni sustav vezan uz određeni objekt na nebeskoj sferi, analogan geografskom koordinatnomu sustavu širina i duljina. Sastoji se od osnovne ravnine i kružnice te na nju okomite početne kružnice s nultom točkom. Ovisno o odabiru osnovne ravnine i kružnice razlikuju se horizontski koordinatni sustav, ekvatorski koordinatni sustav, ekliptički koordinatni sustav i galaktički koordinatni sustav.

koordinatni sustavi. Hrvatska enciklopedija, mrežno izdanje. Leksikografski zavod Miroslav Krleža, 2018. Pristupljeno 11.12.2018. <http://www.enciklopedija.hr/Natuknica.aspx?ID=33043>.