diferencijalna jednadžba, jednadžba u kojoj su sadržane veze između nepoznatih funkcija i njihovih derivacija po nezavisnoj varijabli ili nezavisnim varijablama. (→ diferencijalni račun)
Red najviše derivacije koja se nalazi u jednadžbi red je diferencijalne jednadžbe.
Vrste diferencijalnih jednadžbi
Obična diferencijalna jednadžba jest diferencijalna jednadžba kojoj nepoznata funkcija ovisi samo o jednoj varijabli, a njezin je opći oblik: F (x, y, y', y'', …, y(n)) = 0, gdje je x nezavisna varijabla, y (x) nepoznata funkcija i y' (x), y'' (x), …, y(n) (x) derivacije nepoznate funkcije, npr. Abelova diferencijalna jednadžba prvoga reda, Bernoullijeva diferencijalna jednadžba prvoga reda i Riccatijeva jednadžba.
Linearna diferencijalna jednadžba jest diferencijalna jednadžba u kojoj se nepoznata funkcija i njezine derivacije pojavljuju u linearnom obliku. Primjerice, linearna diferencijalna jednadžba drugoga reda ima oblik: a (x) y'' + b (x) y' + c (x) y = f (x), npr. hipergeometrijska jednadžba i Legendreova diferencijalna jednadžba. Ako je koeficijent a = 0, jednadžba postaje linearna diferencijalna jednadžba prvog reda, ako su koeficijenti uz y'', y' i y konstante, onda postaje linearna diferencijalna jednadžba s konstantnim koeficijentima.
Homogena linearna diferencijalna jednadžba jest diferencijalna jednadžba u kojoj su linearna kombinacija derivacija određene funkcije i same te funkcije izjednačene s nulom, npr. u linearnoj diferencijalnoj jednadžbi drugoga reda a (x) y'' + b (x) y' + c (x) y = f (x) funkcija f (x) jednaka je nuli: f (x) = 0.
Nehomogena linearna diferencijalna jednadžba jest diferencijalna jednadžba u kojoj su linearne kombinacije derivacija određene funkcije i same te funkcije različite od nule, npr. u linearnoj diferencijalnoj jednadžbi drugog reda a (x) y'' + b (x) y' + c (x) y = f (x) funkcija f (x) jednaka je nuli: f (x) ≠ 0.
Nelinearna diferencijalna jednadžba jest diferencijalna jednadžba koja nije linearna, npr. populacijska jednadžba.
Parcijalna diferencijalna jednadžba sadržava parcijalne derivacije jedne ili više nepoznatih funkcija koje ovise o dvjema ili više nezavisnih varijabli. Primjerice, parcijalna diferencijalna jednadžba y (∂z/∂x) – x (∂z/∂y) = z sadržava nepoznatu funkciju z = z (x, y) po nezavisnim varijablama x i y.
Linearna parcijalna diferencijalna jednadžba je diferencijalna jednadžba u kojoj se nepoznata funkcija i sve njezine parcijalne derivacije pojavljuju linearno, npr. Schrödingerova jednadžba, valna jednadžba za valove malih amplituda, a nelinearna parcijalna diferencijalna jednadžba je jednadžba u kojoj se nepoznata funkcija i njezine parcijalne derivacije ne pojavljuju uvijek linearno, npr. jednadžba koja omogućuje rješenje transportnoga problema.
Semilinearna parcijalna diferencijalna jednadžba jest diferencijalna jednadžba u kojoj se sve parcijalne derivacije nepoznate funkcije pojavljuju linearno, ali sama nepoznata funkcija nije linearna.
Kvazilinearna jednadžba jest parcijalna diferencijalna jednadžba u kojoj se parcijalne derivacije nepoznate funkcije najvišega reda pojavljuju linearno s koeficijentima koji su funkcije nezavisnih varijabli, nepoznate funkcije i njezinih parcijalnih derivacija nižega reda.
Nelinearna parcijalna diferencijalna jednadžba je diferencijalna jednadžba koja nije linearna, semilinearna ni kvazilinearna.
Rješavanje diferencijalnih jednadžbi
Riješiti diferencijalnu jednadžbu znači odrediti sve funkcije i njihove derivacije koje ju identički zadovoljavaju. Ako je rješenje diferencijalne jednadžbe funkcija y = f(x), tada za svaki x iz domene funkcije mora vrijediti: F(x, y, y', y'' , …, yn) ≡ 0. Pri rješavanju rabe se složene metode koje sadržavaju postupke integriranja. (→ integralni račun)
Opće rješenje diferencijalne jednadžbe n-tog reda je skup svih funkcija, tj. porodica krivulja: Φ (x, y, C1, C2, …, Cn) ≡ 0 koja je identički zadovoljava, gdje su C1, C2, …, Cn proizvoljne realne konstante. Svaka vrijednost konstante određuje pojedinačnu krivulju. Primjerice, za jednadžbu: y' = 2x opće rješenje jest: y = x² + C, tj. porodica parabola pomaknutih po osi y.
Posebno (partikularno) rješenje diferencijalne jednadžbe n-tog reda dobiva se iz općega rješenja za konkretne vrijednosti konstanti C1, C2, …, Cn. Kako bi se odredilo neko posebno rješenje, obično se postave dodatni zahtjevi, početni uvjeti, kojima ono mora udovoljavati. Ako je opće rješenje poznato, onda se iz njega, na temelju početnog uvjeta, lako izdvaja traženo posebno rješenje. Opće rješenje je skup svih posebnih rješenja.
Singularno rješenje je rješenje diferencijalne jednadžbe koje se ne može dobiti iz općega rješenja ni za jednu vrijednost konstanti C1, C2, …, Cn. Geometrijski, singularno rješenje je anvelopa porodice krivulja koju daje opće rješenje.
Iako je razmjerno lako konstruirati diferencijalnu jednadžbu koja opisuje neki problem, nije ju lako riješiti. Mnoge se vrste diferencijalnih jednadžbi za praktične potrebe rješavaju aproksimativno (približno), odnosno iteracijskim postupcima numeričke matematike s pomoću računala.
Osnovna pravila diferenciranja
Ako su u i v realne diferencijabilne funkcije a C realna konstanta, vrijede sljedeća pravila:
dC = 0,
d (Cu) = Cdu,
d (u + v) = du + dv,
d (u − v) = du – dv,
d (uv) = (du) v + udv,
d (u/v) = (vdu – udv)/v² (za v ≠ 0),
duC = CuC−1 du,
d (ln u) = u−1du (za u > 0),
deu = eudu,
dCu = Culn Cdu (za C > 0).
Primjena diferencijalnih jednadžbi
Diferencijalne jednadžbe se često primjenjuju za matematičko izražavanje problema u diferencijalnoj geometriji, fizici i drugim znanostima i u različitim granama tehnike.
Obična diferencijalna jednadžba prvoga reda može povezati električnu struju I i promjenu električnoga naboja dQ u nekom vremenskom intervalu dt, dakle: I = dQ/dt; može opisati zakon radioaktivnog raspadanja: dN(t)/dt = –λN(t), gdje je N(t) broj neraspadnutih radioaktivnih jezgara u nekom trenutku, dN(t) promjena broj neraspadnutih radioaktivnih jezgara, λ konstanta raspada, a znak minus opisuje činjenicu da se povećanjem vremena broj neraspadnutih jezgara smanjuje i dr.
Laplaceova diferencijalna jednadžba je homogena linearna parcijalna diferencijalna jednadžba drugoga reda Δu = 0 koja može opisati električni potencijal φ (x, y, z) u vakuumu kad je gustoća električnoga naboja jednaka nuli: Δφ = ∂²φ/∂x² + ∂²φ/∂y² + ∂²φ/∂z² = 0 .
Poissonova diferencijalna jednadžba je nehomogena linearna parcijalna diferencijalna jednadžba drugoga reda Δu = f kojom se može opisati električni potencijal φ (x, y, z) pri danome rasporedu električnih naboja: Δφ = ∂²φ/∂x² + ∂²φ/∂y² + ∂²φ/∂z² = ρ/ε0, gdje je ρ gustoća električnoga naboja, a ε0 dielektrična permitivnost vakuuma.
