STRUKE:

skup

ilustracija
SKUP

skup, temeljni matematički pojam što ga je potkraj XIX. st. uveo Georg Cantor kao »sjedinjenje određenih, međusobno različitih objekata našega zora ili mišljenja, tzv. elemenata skupa, u jednu cjelinu«. Takva formulacija daje samo intuitivno razjašnjenje pojma, jer nije moguće dati njegovu strogu definiciju, pa ga suvremena matematika uvodi aksiomatski u teoriji skupova. Skup se sastoji od svojih elemenata, ako neki element x pripada skupu S piše se x ∈ S. Ti su elementi apstraktni, a u konkretnim slučajevima mogu biti zadani nekim svojim svojstvom, npr. skup cijelih brojeva, skup točaka ravnine, skup svih korijena neke jednadžbe i sl. Neki skupovi imaju međunarodno prihvaćene znakove, primjerice znak skupa svih prirodnih brojeva jest N, cijelih brojeva Z, racionalnih brojeva Q, realnih brojeva R i kompleksnih brojeva C.

Da se skup S sastoji od elemenata a1, …, an piše se S = {a1, , an}. Skup koji ne sadrži nijedan element naziva se prazni skup, oznaka ∅. Ako je svaki element skupa S ujedno i element skupa T, kaže se da je S podskup od T i piše S ⊆ T. Za skupove S i T kaže se da su jednaki, S = T, ako svaki element skupa S pripada i skupu T, i obratno, tj. ako vrijedi x ∈ S⇐⇒x ∈ T. Uzima se da je prazni skup podskup svakoga skupa. Za skupove su definirane ove operacije:

a) unija: A ∪ B = {x|x ∈ A ili x ∈ B}, tj. skup kojega je svaki element ili iz A ili iz B;

b) razlika: A \ B = {x|x ∈ A, ali nije x ∈ B}, tj. skup svih onih elemenata iz A koji ne pripadaju B;

c) presjek: A ∩ B = {x|x ∈ A i x ∈ B}, tj. skup svih onih elemenata koji istodobno pripadaju i A i B;

d) komplement: ako je B ⊆ A, skup A \ B = CA B naziva se komplement od B u A;

e) Kartezijev produkt: A × B = {(ab)|a ∈ A; b ∈ B}, tj. skup svih uređenih parova elemenata, od kojih je prvi iz skupa A, a drugi iz skupa B. Unija i presjek su komutativne i asocijativne operacije koje su međusobno distributivne A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) i A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

Iz svakog identiteta sagrađenoga s pomoću operacija unija i presjek dobiva se njihovom međusobnom zamjenom opet ispravni identitet (zakon dualiteta). Za komplemente A i B nekoga skupa S vrijede De Morganovi teoremi (po Augustusu De Morganu): CS (A ∪ B) = CSA ∩ CSB; CS (A ∩ B) = CSA ∪ CSB.

Operacije unije, presjeka i Kartezijeva produkta mogu se izvoditi i s više (pa i beskonačno mnogo) skupova.

Za dva skupa kaže se da su ekvivalentni ili da imaju isti kardinalni broj ako postoji bijekcija (→ funkcija) jednoga na drugi. Za skupove koji imaju isti kardinalni broj kao i skup prirodnih brojeva kaže se da su prebrojivi (npr. skup racionalnih brojeva), a inače da su neprebrojivi (npr. skup realnih brojeva). Ako je skup A ekvivalentan s podskupom B, ali ne obratno, kaže se da je kardinalni broj od A manji od kardinalnoga broja od B. U tom smislu kardinalni je broj skupa prirodnih brojeva manji od kardinalnoga broja realnih. U novije je doba dokazano da je u formalnoj teoriji skupova (Zermelo-Fraenkelovoj teoriji) neodlučiv problem ima li između tih dvaju kardinalnih brojeva još koji (hipoteza kontinuuma). Drugim riječima, pretpostavka da drugih kardinalnih brojeva između tih dvaju nema ne dovodi do kontradikcije u Zermelo-Fraenkelovoj teoriji, a također ni suprotna pretpostavka.

Nedovoljno kritično rasuđivanje o skupovima može dovesti do kontradikcija (antinomije teorije skupova). Kako bi se to izbjeglo, izgrađene su različite aksiomatike teorije skupova, ali do danas nije općenito prihvaćena nijedna od njih.

skup. Hrvatska enciklopedija, mrežno izdanje. Leksikografski zavod Miroslav Krleža, 2018. Pristupljeno 20.7.2019. <http://www.enciklopedija.hr/Natuknica.aspx?ID=56516>.