Cramerovo pravilo

Cramerovo pravilo [kra:'məɹ~] (po Gabrielu Crameru koji ga je objavio 1750), algoritam koji omogućuje rješavanje sustava od n linearnih jednadžbi s n nepoznanica dijeljenjem vrijednosti dviju determinanti nastalih od koeficijenata u jednadžbama sustava.

Za sustav linearnih jednadžbi:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n = b₂

…

a_n1x₁ + a_n2x₂ + … + a_nnx_n = b_n

matricu koeficijenata A oblikuju koeficijenti koji se nalaze uz nepoznanice sustava, prvi red matrice čine koeficijenti uz nepoznanice prve jednadžbe, drugi red matrice čine koeficijenti uz nepoznanice druge jednadžbe itd., a stupce matrice čine koeficijenti uz pojedine nepoznanice, prvi stupac čine koeficijenti uz nepoznanicu x₁, drugi stupac čine koeficijenti uz nepoznanicu x₂ itd., dakle:

\(\pmb A=\left[\matrix {a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\cr a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\cr \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\cr a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}}\right]\:\)

Determinanta koeficijenata nastaje od matrice koeficijenata (D = det A ≠ 0), dakle:

\({\rm det}\pmb A=\left|\matrix {a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\cr a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\cr \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\cr a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}}\right|\:\).

Matrica zamijenjenih koeficijenata A_i nastaje kad se jedan stupac matrice koeficijenata A zamijeni stupcem slobodnih članova, a iz nje nastaje determinanta zamijenjenih koeficijenata (D_i = det A_i, gdje je i = 1, …, n). Rješenje nepoznanice jest: x_i = D_i /D.

Primjerice, sustav dviju linearnih jednadžbi s dvjema nepoznanicama:

ax + by = e

cx + dy = f,

može se Cramerovim pravilom riješiti s pomoću determinanti drugoga reda:

\[x=\cfrac{D_x}{D}=\cfrac{\left|\matrix {e&b\cr f&d}\right|}{\left|\matrix {a&b\cr c&d}\right|}=\cfrac{ed-bf}{ad-bc}\]

\[y=\cfrac{D_y}{D}=\cfrac{\left|\matrix {a&e\cr c&f}\right|}{\left|\matrix {a&b\cr c&d}\right|}=\cfrac{af-ce}{ad-bc}\].