STRUKE:

populacijska jednadžba

populacijska jednadžba, nelinearna diferencijalna jednadžba oblika xn + 1 = r · xn (1 – xn) uvedena 1845. kako bi se s pomoću nje opisale promjene populacije određene biološke vrste na nekom području; danas se rabi i u drugim znanostima, posebice pri proučavanju kaotičnih procesa. Tako npr. xn + 1 označava broj jedinki populacije u + 1 godini u odnosu na n-tu god., a r je kontrolni parametar koji ovisi o uvjetima za razvoj populacije u promatranom sustavu, npr. o dostupnosti hrane, plodnosti, izloženosti bolestima. Za vrijednost r između 0 i 4 rješenja jednadžbe su između 0 i 1, tj. broj je jedinki populacije između 0% i 100% od najvećega mogućeg broja jedinki, a za r > 4 rješenje postaje minus beskonačno, što nema fizikalnoga smisla. Počevši od neke vrijednosti x0 (između 0 i 1) moguće je iteracijom izračunati rješenja populacijske jednadžbe: x1 = r · x0 (1 – x0), x2 = r · x1 (1 – x1) itd. Ako je r < 1, uvjeti su za život toliko nepovoljni da populacija propada, rješenja jednadžbe su jednaka nuli. Kada je r > 1, uvjeti su za život populacije bolji, rješenja se nakon nekoliko iteracija (n → ∞) približavaju vrijednosti xa za koju vrijedi xa = r · xa(1 – xa), brojnost jedinki populacije je stalna. Vrijednost xa naziva se stabilnom, fiksnom točkom ili atraktorom (npr. za stalan kontrolni faktor 2,5 populacija će se nakon nekoliko godina stabilizirati na 60% od najvećega mogućeg broja jedinki). Za kontrolni parametar r > 3 rješenja osciliraju oko dva atraktora (npr. za stalan kontrolni faktor 3,2 populacija izmjenično poprima dva broja jedinki, 80% i 53% od najvećega mogućeg broja jedinki). Kod vrijednosti kontrolnog parametra r = 3,45 (točno r = 1 +  6 ), pojavljuju se četiri atraktora, za r = 3,545 pojavljuje se 8 atraktora itd. Za vrijednosti r ≥ 3,57 rješenja jednadžbe postaju nepredvidiva, različita nakon svake iteracije, broj atraktora beskonačan. Sustav je tada u režimu kaosa i najmanja promjena početnih uvjeta dovodi do potpuno različitih rješenja. (→ feigenbaumov broj; feigenbaumov scenarij; kaos)

Citiranje:
populacijska jednadžba. Hrvatska enciklopedija, mrežno izdanje. Leksikografski zavod Miroslav Krleža, 2020. Pristupljeno 13. 8. 2020. <http://www.enciklopedija.hr/Natuknica.aspx?ID=49508>.