skup

ilustracija
SKUP

skup, temeljni matematički pojam što ga je potkraj XIX. st. uveo Georg Cantor kao »sjedinjenje određenih, međusobno različitih objekata našega zora ili mišljenja, tzv. elemenata skupa, u jednu cjelinu«. Takva formulacija daje samo intuitivno razjašnjenje pojma, jer nije moguće dati njegovu strogu definiciju, pa ga suvremena matematika uvodi aksiomatski u teoriji skupova. Skup se sastoji od svojih elemenata, ako neki element x pripada skupu S ili je sadržan u skupu S piše se x ∈ S. Ti su elementi apstraktni, a u konkretnim slučajevima mogu biti zadani nekim svojim svojstvom, npr. skup cijelih brojeva, skup točaka ravnine, skup svih korijena neke jednadžbe i sl. Neki skupovi imaju međunarodno prihvaćene znakove, primjerice znak skupa svih prirodnih brojeva jest N, cijelih brojeva Z, racionalnih brojeva Q, realnih brojeva R i kompleksnih brojeva C.

Vrste skupova

Prazni skup (znak ∅ ili {}) ne sadrži nijedan element.

Jednočlani skup sadrži samo jedan element.

Neprazni skup sadrži barem jedan element, A ≠ ∅.

Univerzalni skup sadrži sve skupove u određenoj teoriji.

Konačni skup sadrži konačno mnogo elemenata. Može se definirati eksplicitnim popisom svojih članova. Ako se skup S sastoji od elemenata a1, …, an, piše se S = {a1, …, an}. Dogovorno se i prazni skup smatra konačnim.

Beskonačni skup nije konačan. Označavanje beskonačnih skupova zahtijeva pravilo koje određuje članstvo, npr. tri točkice N = {1, 2, 3, …} označavaju da se popis prirodnih brojeva nastavlja bez kraja. Skup S koji sadrži one i samo one elemente koji imaju neko određeno svojstvo P(s) označava se sa S = {s|P(s)}.

Prebrojivi skup je skup za koji postoji bijekcija na skup prirodnih brojeva, npr. skup racionalnih brojeva.

Neprebrojivi skup je beskonačni skup koji nije prebrojiv, npr. skup realnih brojeva.

Uređeni skup je skup kojemu je zadana relacija uređaja.

Podskup skupa T je skup S ako je svaki element skupa S ujedno i element skupa T, S ⊆ T. Skupovi S i T su jednaki, S = T, ako svaki element skupa S pripada i skupu T, i obratno, tj. ako vrijedi x ∈ S⇐⇒x ∈ T. Uzima se da je prazni skup podskup svakoga skupa.

Nadskup skupa S je skup T koji sadržava dani skup S, dakle: T  S.

Disjunktni skupovi nemaju zajedničkih elemenata, A ∩ B = ∅.

Dva skupa su jednakobrojna (ekvipotentna) ako postoji bijekcija s jednoga na drugi.

Statistički skup je skup elemenata kojima se svojstva proučavaju s pomoću statističkih metoda.

Osnovne operacije na skupovima

Operacije na skupovima su postupci kojima se od dvaju ili više skupova, pod danim uvjetima, čini jedan skup. Mogu se, osim Kartezijeva produkta, prikazati Vennovim dijagramima.

a) Unija: A ∪ B = {x|x ∈ A ili x ∈ B}, tj. skup kojega je svaki element ili iz A ili iz B.

b) Razlika: A \ B = {x|x ∈ A, ali nije x ∈ B}, tj. skup svih onih elemenata iz A koji ne pripadaju B.

c) Presjek: A ∩ B = {x|x ∈ A i x ∈ B}, tj. skup svih onih elemenata koji istodobno pripadaju i A i B.

d) Komplement: ako je B ⊆ A, skup A \ B naziva se komplement od B u A.

e) Kartezijev produkt: A × B = {(ab)|a ∈ A; b ∈ B}, tj. skup svih uređenih parova elemenata, od kojih je prvi iz skupa A, a drugi iz skupa B

Svojstva osnovnih operacija sa skupovima razmatraju se u teoriji skupova.

Kardinalni broj skupa

Kardinalni broj skupa je broj elemenata tog skupa. Praznomu skupu pridružuje se kardinalni broj 0, konačnomu skupu koji sadrži n elemenata pridružuje se kardinalni broj n, a beskonačnomu skupu pridružuje se beskonačni kardinalni broj. Ako je skup A ekvivalentan s podskupom B, ali ne obratno, kaže se da je kardinalni broj od A manji od kardinalnoga broja od B. U tom smislu kardinalni je broj skupa prirodnih brojeva manji od kardinalnoga broja realnih brojeva.

Citiranje:
skup. Hrvatska enciklopedija, mrežno izdanje. Leksikografski zavod Miroslav Krleža, 2020. Pristupljeno 21. 10. 2020. <http://www.enciklopedija.hr/Natuknica.aspx?ID=56516>.