determinanta

determinanta (lat. determinans: koji određuje), odredbenica; u matematici, broj pridružen svakoj kvadratnoj matrici.

\(\pmb A=\left[\matrix {a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\cr a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\cr \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\cr a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}}\right],\:\) gdje su a_ij elementi matrice pri čemu prvi indeks i označava red a drugi indeks j stupac, a n je broj redaka i stupaca.

Dobije se množenjem i zbrajanjem elemenata kvadratne matrice prema određenom pravilu. Taj se broj označuje obično s det A ili |A| i definira se kao:

det A = ∑ ± a₁i₁ a₂i₂ … a_ni_n,

gdje je i₁, i₂ …, i_n, neka permutacija brojeva od 1 do n, a predznak produkta određuje se prema broju inverzija u toj permutaciji. (Ako je broj inverzija paran, produkt je pozitivan, a u protivnome negativan). Zbrajanje se proteže preko svih n! permutacija i₁ i₂ … i_n. Primjerice, za matricu drugoga reda \(\pmb A=\left[\matrix {a&b\cr c&d}\right]\) determinanta se može izračunati kao det A = ad – bc, a za matricu trećega reda \(\pmb B=\left[\matrix {a&b&c\cr d&e&f\cr g&h&k}\right]\) determinanta se može izračunati kao det B = aek + bfg + cdh – ceg – bdk – afh.

Determinante je prvi izumio Gottfried Wilhelm Leibniz (1693) ispitujući rješenja sustava linearnih jednadžbi. Njegov je izum pao u zaborav, pa se dugo vremena izumiteljem determinanata smatrao Gabriel Cramer, koji je 1750. dao pravila rješavanja sustava jednadžbi s pomoću determinanata. Naziv determinanta prvi je upotrijebio Carl Friedrich Gauss, a tek se poslije radova Carla Gustava Jacobija determinante široko primjenjuju u matematici.