teorija vjerojatnosti, grana matematike koja proučava odnose među slučajnim događajima. Objekti su teorije vjerojatnosti slučajne varijable i stohastički procesi.
Temeljni pojmovi
Slučajni pokus jest izvođenje (ponavljanje) postupka kojemu je unaprijed poznato više mogućih ishoda, ali je nepredvidiv ishod pojedinog postupka.
Elementarni događaj (znak Ek) pojedinačni je ishod slučajnoga pokusa. Primjerice, pri pokusu bacanja kocke, elementarni događaj pad je na bilo koju od ploha obilježenih brojevima 1, 2, 3, 4, 5 ili 6.
Vjerojatnost elementarnoga događaja jednaka je recipročnoj vrijednosti broja svih mogućih elementarnih događaja n, ako su svi elementarni događaji jednako vjerojatni, dakle: p(Ek) = 1/n, gdje je 1 ≤ k ≤ n. Primjerice, pri pokusu bacanja kocke broj mogućih elementarnih događaja jest šest (n = 6), pa je vjerojatnost jednog od tih događaja približno jednaka 16,67%, tj. p(Ek) = 1/6, gdje je 1 ≤ k ≤ 6.
Prostor vjerojatnosti je matematički model slučajnoga pokusa. Definira se kao skup elementarnih događaja {E1, E2, …, En} nastalih izvođenjem slučajnoga pokusa pri čem je svakom elementarnom događaju pridružena vjerojatnost, broj p (Ek), veći ili jednak nuli i manji ili jednak jedinici, 0 ≤ p (Ek) ≤ 1, i to tako da je zbroj vjerojatnosti elementarnih događaja cijeloga skupa jednak jedinici, dakle: p (E1) + p (E2) + … + p (En) = 1.
Slučajni događaj jest postupak koji se uz definirane uvjete može ponavljati, a ima najmanje dva moguća ishoda. Može sadržavati jedan ili više elementarnih događaja.
Složeni događaj ili jednostavno događaj jest bilo koji podskup prostora elementarnih događaja koji sadrži više od jednoga elementarnog događaja.
Vjerojatnost složenog događaja definira se kao zbroj vjerojatnosti jednako mogućih elementarnih događaja od kojih je složeni događaj sastavljen. Npr. kod bacanja kocke vjerojatnost složenog događaja npr. da »padne paran broj« jednaka je 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2. Vjerojatnost složenoga događaja sastavljenog od m elementarnih događaja jednaka je m/n (vjerojatnost je jednaka količniku broja povoljnih i broja svih mogućih događaja).
Slučajna varijabla jest svaka realna funkcija definirana na prostoru vjerojatnosti, tj. varijabla kojoj se vrijednosti ne mogu predvidjeti sa sigurnošću, nego samo s određenom vjerojatnošću. Može biti diskretna i kontinuirana.
Matematičko očekivanje vrijednosti slučajne varijable u dugom nizu ponavljanja pokusa jest aritmetička sredina: \(\displaystyle E(X)=\sum_{k=1}^nx_kf(x_k)\;\), gdje je X diskretna slučajna varijabla, n broj događaja, xk vrijednost slučajne varijable pojedinog događaja, a f(xk) vjerojatnost pojedinog događaja. Primjerice, pri pokusu bacanja kocke očekivana vrijednosti slučajne varijable jest: E(X) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6 = 3,5.
Zakon velikih brojeva služi za određivanje vjerojatnosti s pomoću velikoga broja pokusa ili promatranja (statistička vjerojatnost).
Povijesni razvoj
Teoriju vjerojatnosti započeli su razvijati u XVII. st. kao teoriju hazardnih igara Blaise Pascal, Pierre de Fermat i Christiaan Huygens a matematičkom disciplinom postala je u XVIII. st. u radovima Thomasa Bayesa, Jakoba Bernoullija, Pierrea Simona de Laplacea, u XIX. st. u radovima Carla Friedricha Gaussa, Pafnutija Ljvoviča Čebišova, Siméona Denisa Poissona i dr. U početku se teorija vjerojatnosti uglavnom bavila diskretnim događajima, a tek su u XIX. st. u razmatranja uključene kontinuirane varijable i gustoća vjerojatnosti. Na suvremenoj aksiomatskoj osnovi teoriju vjerojatnosti u XX. st. razvili su Andrej Andrejevič Markov, Émile Borel, Andrej Nikolajevič Kolmogorov, Harald Cramér i dr.
