trigonometrijske funkcije

ilustracija
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE

trigonometrijske funkcije, periodične funkcije kutne varijable određene položajem točke na brojevnoj kružnici s nazivima: sinus (znak sin), kosinus (cos), tangens (tan), kotangens (cot), uz rjeđe upotrebljavane sekans (sec) i kosekans (csc). Elementarna im je definicija za vrijednosti argumenta x iz intervala (0, 90°), odnosno (0, π/2), shvaćenoga kao šiljasti kut pravokutnoga trokuta nasuprot kateti duljine a: sin x = a/c, cos x = b/c, tan x = sin x/cos x = a/b, cot x = 1/tan x = b/a, csc x = 1/sin x = c/a, sec x = 1/cos x = c/b.

Vrijednosti tih funkcija ovise samo o kutu, a ne o duljini stranica trokuta (zbog sličnosti trokuta a : b : c = a': b'c').

Opća definicija trigonometrijskih funkcija za sve vrijednosti argumenta x iz intervala 0 ≤ x ≤ 2π temelji se na brojevnoj kružnici. Ako je T bilo koja točka brojevne kružnice, a x radijanska mjera (→ radijan) kuta ∡ AOT, koja je jednaka duljini luka AT, tada je sin x ordinata, a cos x apscisa točke T, tj. T (cos x, sin x). Nadalje je tan x ordinata točke B, a cot x apscisa točke C, dok su sec x, odnosno csc x duljine dužina OC odnosno OB uzetih s predznakom koji imaju pripadni sinus, odn. kosinus. Na proizvoljne argumente te se definicije proširuju zahtjevom sin (x + 2 kπ) = sin x, cos (x + 2 kπ) = cos x, tan (x + kπ) = tan x i cot (kπ) = cot x za sve k = ± 1, ± 2 … Odatle se vidi da su trigonometrijske funkcije periodične funkcije, i to sinus i kosinus s periodom 2π, a tangens i kotangens s periodom π.

Trigonometrijski identiteti povezuju trigonometrijske funkcije.

Eulerova relacija cos x + i sin x = eix , gdje je i imaginarna jedinica a e Eulerov broj, povezuje funkcije sinus i kosinus i kompleksnu eksponencijalnu funkciju.

Vrijednosti trigonometrijskih funkcija za neke posebne brojeve

x 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π
sin x 0 1/2  2 /2  3 /2 1  3 /2  2 /2 1/2 0
cos x 1  3 /2  2 /2 1/2 0 –1/2  2 /2  3 /2 –1
tan x 0  3 /3 1  3  ±∞  3  –1  3 /3 0
cot x ±∞  3  1  3 /3 0  3 /3 –1  3  ±∞

Redovi trigonometrijskih funkcija

Trigonometrijske funkcije mogu se razviti u beskonačne redove potencija, npr.:

trigonometrijske funkcije 1.jpg,

trigonometrijske funkcije 2.jpg,

koji konvergiraju za sve realne (a i kompleksne) brojeve x.

Derivacije i integrali trigonometrijskih funkcija

Funkcija Derivacija funkcije Integral funkcije (C je konstanta integracije)
f(x) f '(x) ∫ f(x)dx
sin x cos x –cos x + C
cos x –sin x sin x + C
tan x sec² x = 1 + tan²x –ln |cos x| + C
cot x csc² x = –(1 + cot²x) ln |sin x| + C
sec x sec x tan x ln |sec x + tan x| + C
csc x –csc x cot x –ln |csc x + cot x| + C

Inverzne funkcije trigonometrijskih funkcija

Inverzne funkcije trigonometrijskih funkcija su arkus funkcije: za sinus je to funkcija arkus sinus (znak: arcsin), za kosinus je arkus kosinus (znak arccos), za tangens arkus tangens (znak arctan), za kotangens arkus kotangens (znak arccot) itd.

Inverzne trigonometrijske funkcije od x veličine su od y određene jednadžbama:

y = arcsin x, ako je x = sin y,

y = arccos x, ako je x = cos y,

y = arctan x, ako je x = tan y,

y = arccot x, ako je x = cot y.

Mjerenje kutova

Dio trigonometrije koji se bavi mjerenjem kutova i trigonometrijskim vezama među njima naziva se goniometrija.

trigonometrijske funkcije. Hrvatska enciklopedija, mrežno izdanje. Leksikografski zavod Miroslav Krleža, 2018. Pristupljeno 20.8.2019. <http://www.enciklopedija.hr/Natuknica.aspx?ID=62273>.