struka(e): matematika
ilustracija
PRAVAC, eksplicitni oblik jednadžbe pravca u ravnini
ilustracija
PRAVAC, segmentni oblik jednadžbe pravca u ravnini

pravac, osnovni matematički pojam koji se izvorno ne definira, a intuitivno se poima kao neomeđena napeta nit ili zraka svjetlosti. U aksiomatski zasnovanoj elementarnoj geometriji (npr. Hilbertovi aksiomi), pravac se usvaja kao osnovni pojam. Određen je s bilo koje svoje dvije točke i predstavlja geodetsku liniju ravnine, tj. najkraću spojnicu dviju točaka u ravnini.

U euklidskoj geometriji dva pravca ili se sijeku u jednoj točki, ili su paralelni (leže u istoj ravnini i ne sijeku se), ili su mimosmjerni (ne leže u istoj ravnini i ne sijeku se). Pravac koji prolazi kroz dvije točke neke ravnine leži u toj ravnini. Pravac i ravnina se ili sijeku u jednoj točki ili su paralelni (nemaju zajedničkih točaka ili sve točke pravca pripadaju ravnini, tj. pravac leži u ravnini). Zraka je svaki od dvaju dijelova pravca na koje ga rastavlja neka njegova točka.

U geometriji Nikolaja Ivanoviča Lobačevskoga (→ neeuklidske geometrije) pravci mogu biti i hiperparalelni.

U analitičkoj geometriji pravci se mogu zadati jednadžbama, a pravac je skup svih točaka koje zadovoljavaju jednadžbe.

Jednadžbe pravca u ravnini

Implicitna jednadžba: Ax + By + C = 0, gdje su A, B i C koeficijenti i barem je jedan od A i B različit od nule.

Eksplicitna jednadžba: x = kx + l, gdje je k = tan φ koeficijent smjera pravca koji ovisi o kutu φ što ga pravac zatvara s pozitivnim dijelom apscise, a l odsječak na ordinati.

Segmentna jednadžba: x/m + y/n = 1, gdje su (m, 0) i (0, n) koordinate presjeka pravca s koordinatnim osima.

Jednadžba pravca koji prolazi kroz jednu točku (x1, y1) i ima poznat koeficijent smjera: y – y1 = k(x – x1).

Jednadžba pravca koji prolazi kroz dvije točke (x1, y1) i (x2, y2) jest: y – y1 = (x – x1)(y2 – y1)/(x2 – x1) ili (y2 – y1)/(x2 – x1) = k = tan φ, gdje je φ kut koji pravac zatvara s pozitivnim dijelom apscise.

Kut između dvaju pravaca p = k1x + l1 i q = k2x + l2 određuje se iz jednadžbe: \({\rm tan \varphi}=\left|\cfrac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}\right|,\,\)

gdje su k1 i k2 koeficijenti smjera pravaca. Ako su koeficijenti smjera pravaca jednaki, tj. ako je k1 = k2, pravci su međusobno paralelni, a ako je k1k2 = –1, pravci su međusobno okomiti.

Jednadžbe pravca u prostoru

Parametarske jednadžbe:

x = kt + x0,

y = lt + y0,

z = mt + z0,

gdje su k, l, m, x0, y0, z0 zadani brojevi, a t je parametar. Svakoj vrijednosti parametra t odgovara jedna točka pravca.

Kanonska jednadžba:

(x – x0)/k = (y – y0)/l = (z – z0)/m.

Vektorska jednadžba:

r = x0i + y0j + z0k + t(ki + lj + mk),

gdje su i, j, k jedinični vektori u smjerovima koordinatnih osi x, y i z.

Citiranje:

pravac. Hrvatska enciklopedija, mrežno izdanje. Leksikografski zavod Miroslav Krleža, 2013. – 2024. Pristupljeno 23.4.2024. <https://www.enciklopedija.hr/clanak/pravac>.