diferencijalna geometrija

diferencijalna geometrija (srednjovj. lat. differentialis), matematička disciplina koja istražuje opća svojstva krivulja i ploha na osnovi njihovih jednadžbi primjenom matematičke analize (diferencijalnog i integralnog računa, diferencijalnih jednadžbi). Općenitost promatranih krivulja i površina pritom je ograničena jedino zahtjevom da im na pripadne jednadžbe budu primjenljive metode matematičke analize. Takav je npr. zahtjev da egzistira tangenta u svakoj točki krivulje, odnosno tangencijalna ravnina u svakoj točki plohe.

Podjela diferencijalne geometrije

Lokalna diferencijalna geometrija bavi se lokalnim svojstvima krivulja i ploha, tj. svojstvima koja se odnose na dovoljno male okoline njihovih točaka (npr. tangenta).Temeljna lokalna značajka krivulja, odnosno ploha njihova je zakrivljenost u pojedinoj točki, koja mjeri odstupanje krivulje od pravca, odnosno plohe od ravnine.

Globalna diferencijalna geometrija istražuje svojstva geometrijskih objekata u cjelini. U teoriji ploha načelno su važna istraživanja onih njihovih svojstava koja se mogu utvrditi samom metrikom površina neovisno o prostoru u kojem su smještene (npr. geodetska linija). Ona čine tzv. unutrašnju geometriju plohe.

Povijesni razvoj

Diferencijalna geometrija nastala je sustavnim istraživanjem lokalnih svojstava krivulja i ploha. Njezin je osnivač Gaspard Monge, čije je djelo nastavio Leonhard Euler, a Carl Friedrich Gauss dao mu je dalekosežni smjer razvoja. Georg Friedrich Bernhard Riemann (1868), postavio je temelje diferencijalne geometrije u višedimenzionalnim prostorima (Riemannov prostor; → geometrija). Te je ideje razvio Élie Joseph Cartan. Razvoj diferencijalne geometrije ubrzala je primjena novih metoda: vektorske (1897., vektor) i tenzorske (poč. XX. st.; tenzor). Te su metode omogućile proširenje diferencijalne geometrije na višedimenzionalne prostore različite od euklidskih prostora. Višedimenzionalna diferencijalna geometrija uspješno se primjenjuje u Einsteinovoj teoriji relativnosti. Diferencijalna geometrija Riemannovih prostora u potonjem je razvoju poopćena u više smjerova. Ta poopćenja tvore današnju aktualnu geometrijsku problematiku.

diferencijalna geometrija. Hrvatska enciklopedija, mrežno izdanje. Leksikografski zavod Miroslav Krleža, 2018. Pristupljeno 20.6.2019. <http://www.enciklopedija.hr/Natuknica.aspx?ID=15033>.