struka(e):
ilustracija
GEOMETRIJA, R. Descartes, Geometria, 1683., Amsterdam
ilustracija
GEOMETRIJA, stranica iz Euklidovih Elemenata, kodeks iz 888., Oxford
ilustracija
GEOMETRIJA, tabela iz Euclides ab omni naevo vindicatus isusovca G. G. Saccheria, 1733., Milano

geometrija (geo- + -metrija), grana matematike koja u svojoj izvornoj problematici proučava položaj, oblik, i svojstva geometrijskih tijela u prostoru te njihov međusobni odnos. Tijekom daljnjeg razvoja njezin je predmet proučavanja postao širi i apstraktniji.

Podjela geometrije

Danas se geometrija povezuje i isprepleće s drugim matematičkim disciplinama (algebarska geometrija, matematička analiza, diferencijalne jednadžbe, topologija i dr.), pa se gube njezine oštre granice. Različiti geometrijski sustavi međusobno se razlikuju prema tipu prostora koji istražuju (euklidska geometrija, geometrija Lobačevskoga, Riemannova geometrija i dr.), prema metodama kojima se služe (analitička geometrija, sintetička geometrija, afina diferencijalna geometrija), prema dimenziji prostora (planimetrija, stereometrija, geometrija n-dimenzionalnoga prostora), ili pak prema klasi objekata koje proučavaju (deskriptivna geometrija, projektivna geometrija, sferna geometrija, teorija površina, geometrija trokuta i sl.). Danas se osobito naglo razvija diferencijalna geometrija.

Povijesni razvoj

Podrijetlo geometrije vezano je uz praktične potrebe mjerenja površina zemljišnih parcela (odatle joj naziv – zemljomjerstvo) i volumena posuda, skladišta i dr. Najjednostavnije geometrijske činjenice bile su poznate u Mezopotamiji i Egiptu (3100. pr. Kr.), a imale su vjerojatno više empirijski nego deduktivni značaj. Novo razdoblje u razvoju geometrije u VII. st. pr. Kr. počinje, kada je iz Egipta i Babilona, prema predaji, bila prenesena u Grčku. U filozofskim školama Talesa iz Mileta, Pitagore i dr. rješavani su klasični problemi udvostručenja kocke, kvadrature kruga i trisekcije kuta i otkrivene su mnoge nove geometrijske činjenice (npr. Talesov poučak, Pitagorin poučak), koje se već strogo dokazuju, pa geometrija izrasta u znanost. Visok stupanj njezina razvoja omogućio je da se ona zasnuje strogo aksiomatski i deduktivno po načelima Aristotelove logike. Najuspjelije je to ostvario (oko 300. pr. Kr.) Euklid u svojem djelu Elementi. Novim otkrićima obogatili su geometriju najveći grčki matematičari Arhimed i Apolonije iz Perge u III. st. pr. Kr.

Analitička geometrija razvija se početkom XVII. st., kada je René Descartes uveo u geometriju upotrebu koordinatnih sustava, čime je omogućeno da se geometrijski problemi rješavaju algebarskim metodama.

Diferencijalna geometrija nastaje primjenom metoda infinitezimalnoga računa na analitičku geometriju u radovima Gasparda Mongea i Leonharda Eulera u XVIII. st.

Deskriptivna geometrija se razvila udovoljavajući potrebama tehnike, građevinarstva i osobito arhitekture, a znanstveni joj je temelj postavio Monge u djelu Deskriptivna geometrija (1798).

Projektivna geometrija utemeljena je radovima Jeana-Victora Ponceleta (početkom XIX. st.).

Neeuklidske geometrije nastaju početkom XIX. st., kao rezultat istraživanja problema zasnivanja geometrije i specijalno problema paralela. Do toga su došli Nikolaj Ivanovič Lobačevski i János Bolyai. Značenje je tih novih spoznaja u tome što su one pokazale da prostor i njegova geometrija nisu apriorno jedinstveno predodređeni, nego su i logički moguće različite varijante, koje se razlikuju po sustavu aksioma na kojima se temelje. Trebalo bi da eksperiment odluči koja od njih bolje odgovara svojstvima realnoga prostora. U tom su smislu razrađeni različiti geometrijski sustavi (npr. projektivna geometrija, afina geometrija, eliptična geometrija). U tom su razdoblju osobito plodne i dalekosežne bile ideje Georgea Friedricha Bernharda Riemanna, koji je (1854) definirao poopćeni pojam prostora (poslije nazvan Riemannov prostor). U njemu je zadana duljina linijskih elemenata, pa se mjerenje konačnih udaljenosti obavlja integracijom beskonačno malih odsječaka. Takvi su prostori našli široku primjenu u fizici. U povijesnom razvoju geometrije važno mjesto zauzima problem njezina strogo aksiomatskoga zasnivanja kao deduktivnoga sustava, te problem neproturječnosti, potpunosti i neovisnosti njezine aksiomatike. Tu zadaću, koju Euklid u svojim Elementima nije u potpunosti riješio, 1899. riješio je David Hilbert. Za definiciju i sistematizaciju različitih geometrijskih sustava osobito su značajne ideje Franza Kleina, poznate kao Erlangenski program.

Citiranje:

geometrija. Hrvatska enciklopedija, mrežno izdanje. Leksikografski zavod Miroslav Krleža, 2013 – 2024. Pristupljeno 3.3.2024. <https://www.enciklopedija.hr/clanak/geometrija>.