geometrija

ilustracija
GEOMETRIJA, manuskript, Žena podučava geometriju,1309-16., Pariz
ilustracija1ilustracija2ilustracija3ilustracija4

geometrija (geo- + -metrija), grana matematike koja u svojoj izvornoj problematici proučava položaj, oblik, i svojstva geometrijskih tijela u prostoru te njihov međusobni odnos. Tijekom daljnjeg razvoja njezin je predmet proučavanja postao širi i apstraktniji.

Podjela geometrije

Danas se geometrija povezuje i isprepleće s drugim matematičkim disciplinama (algebarska geometrija, matematička analiza, diferencijalne jednadžbe, topologija i dr.), pa se gube njezine oštre granice. Različiti geometrijski sustavi međusobno se razlikuju prema tipu prostora koji istražuju (euklidska geometrija, geometrija Lobačevskoga, Riemannova geometrija i dr.), prema metodama kojima se služe (analitička geometrija, sintetička geometrija, afina diferencijalna geometrija), prema dimenziji prostora (planimetrija, stereometrija, geometrija n-dimenzionalnoga prostora), ili pak prema klasi objekata koje proučavaju (deskriptivna geometrija, projektivna geometrija, sferna geometrija, teorija površina, geometrija trokuta i sl.). Danas se osobito naglo razvija diferencijalna geometrija.

Povijesni razvoj

Podrijetlo geometrije vezano je uz praktične potrebe mjerenja površina zemljišnih parcela (odatle joj naziv – zemljomjerstvo) i volumena posuda, skladišta i dr. Najjednostavnije geometrijske činjenice bile su poznate u Mezopotamiji i Egiptu (3100. pr. Kr.), a imale su vjerojatno više empirijski nego deduktivni značaj. Novo razdoblje u razvoju geometrije u VII. st. pr. Kr. počinje, kada je iz Egipta i Babilona, prema predaji, bila prenesena u Grčku. U filozofskim školama Talesa iz Mileta, Pitagore i dr. rješavani su klasični problemi udvostručenja kocke, kvadrature kruga i trisekcije kuta i otkrivene su mnoge nove geometrijske činjenice (npr. Talesov poučak, Pitagorin poučak), koje se već strogo dokazuju, pa geometrija izrasta u znanost. Visok stupanj njezina razvoja omogućio je da se ona zasnuje strogo aksiomatski i deduktivno po načelima Aristotelove logike. Najuspjelije je to ostvario (oko 300. pr. Kr.) Euklid u svojem djelu Elementi. Novim otkrićima obogatili su geometriju najveći grčki matematičari Arhimed i Apolonije iz Perge u III. st. pr. Kr.

Analitička geometrija razvija se početkom XVII. st., kada je René Descartes uveo u geometriju upotrebu koordinatnih sustava, čime je omogućeno da se geometrijski problemi rješavaju algebarskim metodama.

Diferencijalna geometrija nastaje primjenom metoda infinitezimalnoga računa na analitičku geometriju u radovima Gasparda Mongea i Leonharda Eulera u XVIII. st.

Deskriptivna geometrija se razvila udovoljavajući potrebama tehnike, građevinarstva i osobito arhitekture, a znanstveni joj je temelj postavio Monge u djelu Deskriptivna geometrija (1798).

Projektivna geometrija utemeljena je radovima Jeana-Victora Ponceleta (početkom XIX. st.).

Neeuklidske geometrije nastaju početkom XIX. st., kao rezultat istraživanja problema zasnivanja geometrije i specijalno problema paralela. Do toga su došli Nikolaj Ivanovič Lobačevski i János Bolyai. Značenje je tih novih spoznaja u tome što su one pokazale da prostor i njegova geometrija nisu apriorno jedinstveno predodređeni, nego su i logički moguće različite varijante, koje se razlikuju po sustavu aksioma na kojima se temelje. Trebalo bi da eksperiment odluči koja od njih bolje odgovara svojstvima realnoga prostora. U tom su smislu razrađeni različiti geometrijski sustavi (npr. projektivna geometrija, afina geometrija, eliptična geometrija). U tom su razdoblju osobito plodne i dalekosežne bile ideje Georgea Friedricha Bernharda Riemanna, koji je (1854) definirao poopćeni pojam prostora (poslije nazvan Riemannov prostor). U njemu je zadana duljina linijskih elemenata, pa se mjerenje konačnih udaljenosti obavlja integracijom beskonačno malih odsječaka. Takvi su prostori našli široku primjenu u fizici. U povijesnom razvoju geometrije važno mjesto zauzima problem njezina strogo aksiomatskoga zasnivanja kao deduktivnoga sustava, te problem neproturječnosti, potpunosti i neovisnosti njezine aksiomatike. Tu zadaću, koju Euklid u svojim Elementima nije u potpunosti riješio, 1899. riješio je David Hilbert. Za definiciju i sistematizaciju različitih geometrijskih sustava osobito su značajne ideje Franza Kleina, poznate kao Erlangenski program.

geometrija. Hrvatska enciklopedija, mrežno izdanje. Leksikografski zavod Miroslav Krleža, 2018. Pristupljeno 11.12.2018. <http://www.enciklopedija.hr/Natuknica.aspx?ID=21705>.